Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=3，边BC，AB分别在x轴和y轴上，已知点C的坐标分别为（4，0）．动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC方向作匀速直线运动，同时点Q从D点出发，以与P点相同的速度沿DA方向运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动时间为t，
（1）求线段CD的长．
（2）连接PQ交直线AC于点E，当AE：EC=1：2时，求t的值，并求出此时△PEC的面积．
（3）过Q点作垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，连接PM，
①是否存在某一时刻，使以M、P、C三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②当t=______时，点P、M、D在同一直线上．（直接写出）

Answer 1

【答案】分析：（1）过点D作DF⊥BC与F，可得四边形ABFD是正方形，然后求出DF=AB，BF=AD，再求出FC，再根据勾股定理列式进行计算即可求出CD；
（2）用t表示出AQ、CP，再根据AD∥BC求出△AQE和△CPE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算求出t的值，再求出PC的长以及点E到PC的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（3）①先用t表示出MC、PC，然后分PC=MC，MP=MC，MP=PC三种情况，分别根据等腰三角形三线合一的性质列出方程求解即可得到相应的t值；
②用t表示出QD、PN，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到t的值．
解答：解：（1）如图，过点D作DF⊥BC与F，
∵四边形ABCD是直角梯形，AB=AD=3，
∴四边形ABFD是正方形，
∴DF=AB=3，BF=AD=3，
∵点C的坐标分别为（4，0），
∴OC=4，
∴FC=BC-BF=4-3=1，
∴CD===；

（2）∵P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴AQ=3-t，CP=4-t，
∵AD∥BC，
∴△AQE∽△CPE，
∴==，
即=，
解得t=2，
∴PC=BC-BP=4-2=2，
∵AE：EC=1：2，
∴点E到BC的距离为AB=×3=2，
∴S_△PEC=×2×2=2；

（3）①存在．
根据勾股定理，AC===5，
CN=BC-BN=4-（3-t）=1+t，
cos∠ACB==，
即=，
解得MC=（1+t），
PC=BC-BP=4-t，

如图1，若MP=MC，则PN=CN，
∴（3-t）-t=1+t，
解得t=；
如图2，若PC=MC，则4-t=（1+t），
解得t=；
如图3，若MP=MC，过点P作PG⊥AC于G，
则cos∠ACB==，
即=，
解得t=；
综上所述，t为秒或秒或时，以M、P、C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
②如图4，当点P、M、D在同一直线上时，∵AD∥BC，
∴△DQM∽PNM，△ADM∽△CPM，
∴=，=，
∴=，
∵PN=BN-BP=AQ-BP=3-t-t=3-2t，
∴=，
整理得，t²-10t+9=0，
解得t₁=1，t₂=9（舍去），
所以，t=1时，点P、M、D在同一直线上．
点评：本题是相似形综合题，主要考查了直角梯形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，（3）①要根据等腰三角形的腰长分情况讨论，②根据两对相似三角形的过渡量得到比例式是解题的关键．