Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x，y是2t2-30t+m=0的两实根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2；（3）45.

【解析】

（1）根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，
（2）由（1）求得xy=36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，推出S△AOD=S△ODE，S△OBC=S△COE，S△COD=××（3+12）×12=45．

（1）如图1，作DF⊥BN交BC于F；

∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y-x）2+122，
整理为：y=，
∴y与x的函数关系式是y=．
（2）由（1）知xy=36，
x，y是方程2x2-30x+a=0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy=，即a=72；
∴原方程为x2-15x+36=0，解得，
或，

∵x＜y，
∴；
（3）如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S△AOD=S△ODE，
S△OBC=S△COE，
∴S△COD=××（3+12）×12=45．