Question

如图，直线y=-

1

2

x+2与x轴交于C，与y轴交于D，以CD为边作矩形CDAB，点A在x轴上，双曲线y=

k

x

(k＜0)经过点B与直线CD交于E，EF⊥x轴于F，则k=

 

；S_{四边形BEFC}=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：先根据坐标轴上点的坐标特征确定C点坐标为（4，0），D点坐标为（0，2），再证明Rt△AOD∽Rt△DOC，利用相似比求出OA=1；作BH⊥x轴于H，如图，
利用“AAS”证明△AOD≌△CHB，得到OD=HB=2，HC=OA=1，则OH=OC-HC=3，所以B点坐标为（3，-2），然后把B（3，-2）代入y=

k

x

可计算出k=-6，则反比例函数解析式为y=-

6

x

，接着解方程组

y=- 1 2 x+2 y=- 6 x

得E点坐标为（6，-1），最后利用S_{四边形BEFC}=S_梯形BEFH-S_△BCH矩形计算．

解答：解：把x=0代入y=-

1

2

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

2

x+2得-

1

2

x+2=0，解得x=4，
∴C点坐标为（4，0），D点坐标为（0，2），
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，即∠ADO+∠CDO=90°，
而∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠ADO=∠DCO，
∴Rt△AOD∽Rt△DOC，
∴OA：OD=OD：OC，即OA：2=2：4，解得OA=1，
∴A点坐标为（-1，0）
作BH⊥x轴于H，如图，
在△AOD和△CHB中，

∠DAO=∠BCH ∠AOD=∠HCB AD=CB

CB，
∴△AOD≌△CHB（AAS），
∴OD=HB=2，HC=OA=1，
∴OH=OC-HC=3，
∴B点坐标为（3，-2），
把B（3，-2）代入y=

k

x

得k=3×（-2）=-6，
∴反比例函数解析式为y=-

6

x

，
解方程组

y=- 1 2 x+2 y=- 6 x

得

x=6 y=-1

或

x=-2 y=3

，
∴E点坐标为（6，-1），
∴S_{四边形BEFC}=S_梯形BEFH-S_△BCH
=

1

2

（1+2）×（6-3）-

1

2

×1×2
=

7

2

．
故答案为-6，

7

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了三角形全等的判定与性质和相似的判定与性质．