Question

8．边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A、C重合），作PE⊥PB交CD于点E．
（1）求证：PE=PB；
（2）当点P在AC上移动，设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）PB=PE，连接PD，由四边形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，证得△BAP≌△DAP，得到PB=PD，∠PBC=∠PDC，再证明∠PDC=∠PED，等角对等边得到PE=PD，所以PB=PE．
（2）过点P作HN∥BC，交AB于H，交CD于点N，由AP=x，所以AH=PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，则CE=CD-DN-EN，所以y=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

解答 解：如图，连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠BPE=∠BCF，
∴∠BPE=90°，
∵四边形PBCE的内角和为360°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDC=∠PED，
∴PE=PD，
∴PB=PE．
（2）如图，过点P作HN∥BC，交AB于H，交CD于点N，

∵AP=x，
∴AH=PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CE=CD-DN-EN，
∴y=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，根据全等三角形的对应边相等得到相等的边．