Question

【题目】定义：点P是四边形ABCD内一点，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”，如，正方形的中心就是它的一个“准中心”．

（1）如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC＝∠PCB＝60°，证明点P是正四边形ABCD的一个“准中心”；

（2）填空：正方形ABCD共有　 　个“准中心”；

（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，点C是∠BAD平分线上的动点，问在四边形ABCD的对角线AC上最多存在几个“准中心”点P（自行画出示意图），并求出每个“准中心”点P对应线段AC的长（精确到个位）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；AC长为4或9或16．

【解析】

（1）根据正方形的性质，利用已知条件，即可解答；

（2）根据 “准中心”的定义即可求解；

（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；分三种情况讨论：

①如图1，当PA＝PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，

②如图2，当PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，

③如图3，当AB＝PB＝PC＝PD＝AD时，点P是“准中心”点，

利用角平分线的性质、等腰三角形的性质和解直角三角形，即可求出AC的长．

（1）∵ABCD为正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD，

又∵∠PBC＝∠PCB＝60°，

∴∠BPC＝60°，

∴PB＝PC＝BC＝AB＝CD，

∴PA＝PD，

∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，

∴点P是正方形ABCD的一个“准中心”．

（2）由（1）可知正方形ABCD有4个这样的“准中心”，再加上对角线的交点，即为5个“准中心”，

故答案为：5；

（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；

①如图1，当PA＝PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，

∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝∠BPC＝60°，∠ABC＝90°，

则AC＝．

②如图2，当PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，

则PA＝6，

∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠APB＝75°，

∴∠PCB＝＝37.5°，

作BE⊥AC于点E，

在Rt△AEB中，BE＝AB＝3，AE＝AB，

在Rt△CEB中，CE＝，

∴AC＝AE+CE＝．

③如图3，当AB＝PB＝PC＝PD＝AD时，点P是“准中心”点，

此时四边形ABPD是菱形，连接BD，

则PA＝2AE＝2ABcos30°＝，

∴AC＝PA+PC＝．

综上，在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；AC长为4或9或16．