Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的QO分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：∠EDF＝∠DAC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；

（2）连接BE，求出∠FDC＝∠EBC，∠FDC＝∠EDF，即可求出答案．

（1）证明：连接OD，

∵AB＝AC，OB＝OD，

∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴AC∥OD，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD过O，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴BE∥DF，

∴∠FDC＝∠EBC，

∵∠EBC＝∠DAC，

∴∠FDC＝∠DAC，

∵A、B、D、E四点共圆，

∴∠DEF＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠EDF＝∠FDC，

∴∠EDF＝∠DAC．