Question

设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

Answer 1

分析：先把原式化为3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）的形式，再根据a、b、c均为正数，可得到

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，再代入a+b+c=1即可得出答案．

解答：解：∵a+b+c=1，
∴原式=

a+b+c

a

+

a+b+c

b

+

a+b+c

c

=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），
∵a、b、c均为正数，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
代入上式，得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

点评：本题考查的是分式的等式证明，解答此题的关键是把原式化为3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）的形式．