Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-2x+4分别交x轴、y轴于A，B两点．点C（-3，0）在x轴上，点Q是x轴正半轴上一动点，过点Q作直线PQ⊥x轴，交直线AB于点P，连接PC，PO．
（1）设△COP的面积为S，求S与x的函数关系式；
（2）点Q在运动过程中，△CQP能否构成等腰直角三角形？若能求出点P坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，-2x+4），根据两点间的距离公式和三角形面积公式可得S=

1

2

×3×|-2x+4|，再分当0＜x＜2时；当x＞2时；两种情况讨论得到S与x的函数关系式；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到PQ=CQ，根据两点间的距离公式可得CQ=x-（-3）=x+3，PQ=|-2x+4|，再分当0＜x＜2时；当x＞2时；两种情况讨论得到点P坐标．

解答：解：（1）令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
设P（x，-2x+4），则PQ=|-2x+4|，
∵C（-3，0），
∴OC=3，
∴S=

1

2

OC•PQ=

1

2

×3×|-2x+4|，
当0＜x＜2时，S=

1

2

×3×（-2x+4）=-3x+6；
当x＞2时，S=

1

2

×3×（2x-4）=3x-6．
故S=

-3x+6(0＜x＜2) 3x-6(x＞2)

．

（2）∵△CQP是以Q为顶点的等腰直角三角形，
∴PQ=CQ，
CQ=x-（-3）=x+3，
PQ=|-2x+4|，
当0＜x＜2时，x+3=-2x+4，解得x=

1

3

，-2x+4=

10

3

，
∴P（

1

3

，

10

3

）；
当x＞2时，x+3=2x-4，解得x=7，-2x+4=-10，
∴P（7，-10）．
故点P坐标为（

1

3

，

10

3

）或（7，-10）．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及坐标轴上的点的坐标特征，三角形的面积，两点间的距离，等腰直角三角形的性质，以及分类思想的运用，难度较大．