Question

如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．

（1）填空：∠DCE=______度，CN=______cm，AM=______cm．
（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．
（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ=______cm．
当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ=______cm．

Answer 1

解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°；
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴BC=AB=8cm，
CM=BC=×8=4cm，
在Rt△CMN中，CN===5cm；
在Rt△ACM中，AM===4cm；

（2）过点C作CF⊥PQ于F，
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴CF=BC=×8=4cm，
连接CP，则PC=CN=5cm，
在Rt△PCF中，PF===3cm，
由垂径定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；

（3）①如图，点D在MA的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBQ=∠CAM=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
②如图，点D在AM的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
综上所述，PQ的长度不变都是6cm．
故答案为：（1）60，5，4；（3）6，6．
分析：（1）根据旋转的性质可得∠ACD=∠BCE，然后求出∠DCE=∠ACB，从而得解；根据等边三角形的性质求出CM=BC，再利用勾股定理列式计算即可求出CN；在Rt△ACM中，利用勾股定理列式计算即可求出AM；
（2）过点C作CF⊥PQ于F，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=BC，连接CP，利用勾股定理列式求出PF，再根据垂径定理可得PQ=2PF，从而得解；
（3）①点D在MA的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD，再根据等角的补角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，与（2）同理可求PQ；
②点D在AM的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°，与（2）同理可求PQ．
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了等边三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理的应用，垂径定理，熟记各性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．