Question

【题目】（新知理解）

如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．

(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；

(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；

（问题探究）

(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；

（问题解决）

(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．

Answer 1

【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或

【解析】

（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.

解：（1）∵AC=3，BC=π AC，

∴AB=AC+BC=3π+3；

∵点D、C都是是线段的圆周率点且不重合，

∴BC=π AC ，AD=πBD，

∴AB=AC+BC=BD+AD，

∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，

∴AC= ，BD=，

∴AC=BD.

（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1

∵点M是线段的圆周率点，

∴BM=π AM ，

∵,

∴AM+π AM=5+5π

∴AM=5；

当点M在线段BC之间时，如图2

∵点M是线段的圆周率点，

∴AM=π BM ，

∵，

∴π BM+BM=5+5π，

∴BM=5，

∴AM=5 π.

综上所述，AM长为5或5 π.

（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，

M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，

∴MC=πOM=πx

∴x+πx=π+1，

解得x=1，

∴OM=1，

∴OM=CN=1

∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.

（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，

如图1，若OD=πDE，

∴x=π(π+2-x)，

解得，x=，

∴D点表示的数为：；

如图2，若DE=πOD，

∴ π+2-x= πx，

解得，x=，

∴D点表示的数为：；

如图3，若OE=πDE，

∴π+2=π(x-π-2)，

解得，x=，

∴D点表示的数为：；

如图4，若DE=πOE，

∴x-π-2=π(π+2)，

解得，x=，

∴D点表示的数为：.

综上所述：D点表示的数为：或或或.