Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？

Answer 1

分析 在AB上截取AF=AC，连接BD、CD、FD，由AD为∠BAC的平分线得∠FAD=∠CAD、BD=CD，证△FAD≌△CAD得FD=CD，从而有FD=BD，再证Rt△BDE≌Rt△FDE得BE=FE，由AE=AB-BE ①、AE=AF+FE ②，①+②得2AE=AB+AF=AB+AC，即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

解答 解：AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC），
如图，在AB上截取AF=AC，连接BD、CD、FD，

∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠CAD，
∴BD=CD，
在△FAD和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴FD=CD，
∴FD=BD，
∵DE⊥AB，
∴△BDE和△FDE均为直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△FDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=FD}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△FDE（HL），
∴BE=FE，
∵AE=AB-BE ①，AE=AF+FE ②，
∴①+②得：2AE=AB+AF=AB+AC，
即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 本题主要考查圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质，在AB上截取AF=AC以构建全等三角形是解题的关键．