Question

1．如图，正方形ABCD的边长为4，点G、H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E、F，连接AG、AH．
（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=1：3，∠AGH=90°；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；
（3）设BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正方形ABCD的边长为4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根据DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根据相似三角形的性质可得GH：HF的值，最后根据勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；
（2）根据正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根据CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根据相似三角形的性质以及勾股定理，求得DF、EG的长；
（3）根据正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y，得出CG=4-x，CH=4-y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，进而得出△ABG∽△GCH，根据相似三角形的对应边成比例，可得y与x之间的函数关系式为：y=$\frac{1}{4}$x²-x+4，最后运用二次函数的性质求得3≤y＜4即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，BG=2，DH=3，
∴CG=2，CH=1，
∵DF∥CG，
∴△FDH∽△GCH，
∴$\frac{GH}{FH}$=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵Rt△GCH中，GH²=CG²+CH²=5，
Rt△ABG中，AG²=AB²+BG²=20，
Rt△ADH中，AH²=AD²+DH²=25，
∴GH²+AG²=AH²，
∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．
故答案为：1：3，90；

（2）∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1，
∴CG=1，CH=3，
∵CG∥DF，CH∥BE，
∴△CGH∽△BGE∽△DFH，
∴$\frac{GC}{HC}$=$\frac{BG}{BE}$=$\frac{DF}{DH}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{BE}$=$\frac{DF}{1}$，
解得BE=9，DF=$\frac{1}{3}$，
∴Rt△BEG中，EG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$；

（3）∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y，
∴CG=4-x，CH=4-y，
由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，
∴△ABG∽△GCH，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BG}{CH}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴y与x之间的函数关系式为：y=$\frac{1}{4}$x²-x+4，
∵$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴4-y=$\frac{x（4-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x，
∴当x=-$\frac{1}{2×（-\frac{1}{4}）}$=2时，4-y有最大值，且最大值为-$\frac{1}{4}$×4+2=1，
∴0＜4-y≤1，
解得3≤y＜4．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，正方形的性质以及二次函数的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行求解．确定一个二次函数的最值时，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．