Question

【题目】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是（）．过点作于点，连接，．

（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；

（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，；（2）或秒时，△DEF为直角三角形

【解析】

(1)先证得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件即求得；
(2)①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得；
②∠DEF=90°时，由(2)知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE列式即可得．

(1)能．

理由如下：
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，，
∴．
又∵，
∴AE=DF．
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．

若使AEFD为菱形，则需AE= AD，

，，

∴，

解得：；

(2)①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，

即，

解得：；

②∠DEF=90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形

∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A+∠C=90°，∠AED+∠A =90°，

∴∠AED=∠C=30°，
∴AD=AE，

即，

解得：；

③∠EFD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，或秒时，△DEF为直角三角形．