Question

某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？

Answer 1

解：（1）存在．
若使方程为一元二次方程，则m+1≠0，即m≠-1且m²+2=2，即m²=0，m=0；
∴m=0，
当m=0时，方程变为x²-2x-1=0，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（-1）=8，
∴x===1±，
∴x₁=1+，x₂=1-．
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根为x₁=1+，x₂=1-；

（2）存在．
若使方程为一元一次方程，要分类讨论：
①当m²+2=1，即m²=-1，无解；
②当m²+2=0，无解；
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0，
所以m=-1满足题意；
当m=-1时，原方程变为：-3x-1=0，
解得x=-．
因此，当m=-1时，该方程是一元一次方程，其解为x=-．
分析：（1）要使方程为一元二次方程，则m+1≠0，即m≠-1且m²+2=2，即m²=0，m=0；再把m=0代入原方程，利用求根公式解即可；
（2）分三种情况讨论：m²+2=1；m²+2=0；m+1=0．求出m的值，确定方程，最后解方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：x=（b²-4ac≥0）；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定a，b，c的值，计算出△=b²-4ac，然后代入公式．同时考查了一元二次方程和一元一次方程的定义以及分类讨论的思想的运用．