Question

19．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=5，OB=3，点D坐标为（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BC-CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；
（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由长方形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得直线DP的解析式；
（2）可分点P在线段BC上和在线段AC上两种情况，利用三角形的面积可求得S关于t的函数解析式；
（3）当点P在线段BC上时，可用t表示出P点坐标，则可分别表示出DP、AP和AD的长，分DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标；当点P在线段AC上时，则只能有PD=AD，则点D在线段AP的垂直平分线上，可求得线段AP中点的坐标，从而可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵OA=5，OB=3，且四边形OACB为长方形，
∴C（5，3），
∴当点P与点C重合时，P点坐标为（5，3），
∵D（0，1），
∴可设直线DP解析式为y=kx+1，
∴3=5k+1，解得k=$\frac{2}{5}$，
∴直线DP解析式为y=$\frac{2}{5}$x+1；
（2）当点P在线段BC上时，即0≤t≤5时，如图1，

则BP=t，且OD=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•OD•BP=$\frac{1}{2}$×1×t=$\frac{1}{2}$t，
当点P在线段AC上时，即5＜t≤8时，则S=$\frac{1}{2}$OD•BC=$\frac{1}{2}$×1×5=$\frac{5}{2}$，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}t（0≤t≤5）}\\{\frac{5}{2}（5＜t≤8）}\end{array}\right.$；
（3）当点P在线段BC上时，如图2，

则可设P点坐标为（t，3）（0≤t≤5），
∵A（5，0），D（0，1），
∴DP=$\sqrt{{t}^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，AP=$\sqrt{（t-5）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$，AD=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
当△APD为等腰三角形时，则有DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况，
①当DP=AP时，则有$\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$，解得t=3，此时P点坐标为（3，3）；
②当DP=AD时，则有$\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{26}$，解得t=-$\sqrt{22}$（舍去）或t=$\sqrt{22}$，此时P点坐标为（$\sqrt{22}$，3）；
③当AP=AD时，则有$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$=$\sqrt{26}$，解得t=5+$\sqrt{17}$（舍去）或t=5-$\sqrt{17}$，此时P点坐标为（5-$\sqrt{17}$，3）；
当点P在线段AC上时，则AP＜AD，只有AD=DP，
∴D在线段AC的垂直平分线上，
∴线段AP的中点坐标为（5，1），
∴P点坐标为（5，2）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，3）或（$\sqrt{22}$，3）或（5-$\sqrt{17}$，3）或（5，1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中确定出P点的坐标是解题的关键，在（2）中分点P在线段BC和AC上两种情况是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出AP、DP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．