Question

已知抛物线的解析式为
（1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值；
（2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的点P的坐标；
（3）若（2）中△PAB的面积为S（S>0），试根据面积S值的变化情况，确定符合条件的点P的个数（本小题直接写出结论，不要求写出计算、证明过程）.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）（m，4）或(，?4)或（，-4）；（3）当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．

解析试题分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，再设出A、B的坐标，然后代入公式即可求出AB的长；
（2）本题需先设出P的坐标，再由题意得出b的值，然后即可求出符合条件的所有点P的坐标；
（3）本题需分当s=8时，当0＜s＜8时，当s＞8时三种情况进行讨论，即可得出符合条件的点P的个数．
试题解析：：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点．
设A（x₁，0），B（x₂，0），
则（定值）.
（2）设P（a，b），则由题意b=-a²+2am+4-m²，且，
解得b=±4．
当b=4时得：a=m，即P（m，4）；
当b=-4时得：，即P(，?4)或P（，-4）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（m，4）或(，?4)或（，-4）.
（3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．
考点：1.二次函数的和性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.分类思想的应用.