【题目】数学兴趣小组的同学们对函数的图象和性质进行了探究,已知时,函数的图象的对称轴为直线,顶点在轴上,与轴的交点坐标为,探究过程如下,请补充过程:
(1) , , .
(2)在给出的平面直角坐标系中,画出函数图象,并写出这个函数的一条性质: .
(3)进一步探究函数图象并解决问题:
①若有三个实数解,则的取值范围为: .
②若函数的图象与该函数有三个交点,则的取值范围为: .
【答案】(1),,;(2)图详见解析;性质不唯一,详见解析;(3)①;②
【解析】
(1)根据函数的图象的对称轴为直线,顶点在轴上,与轴的交点坐标为,得到关于a,b,c的方程组,解方程即可;
(2)根据题意,分别画出当x≤1,x>1,时两部分的图像,并结合图像任意写出一条性质即可;
(3)①根据函数图像,画出,根据图像确定即可;
②与该函数有三个交点,根据函数图象,当的图象经过点时,此时最大,为;当的图象与二次函数的图象相切时,此为另一种临界情况,直线与图像有两个交点,联立方程组,,求出n,问题得解.
解:(1)由题意得的图象对称轴为直线,经过,
则,解得
∴,,
(2)函数图像如图:
性质:当时,随的增大而减小;
当时,随的增大而增大;
当时,随的增大而减小.
当时,函数有最小值为0;
(3)①有三个解,即函数图像与直线有三个交点
,当直线为直线或在其下方且在轴上方时,与函数图象有三个交点,
因此:
②
与该函数有三个交点,根据函数图象,
当的图象经过点时,此时最大,为;
当的图象与二次函数的图象相切时,此为另一种临界情况.
联立解析式,
得,由,得,
因此:.
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【题目】如图1,给定一个正方形,要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形.第1次画线分割成4个互不重叠的正方形,得到图2;第2次画线分割成7个互不重叠的正方形,得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线.
尝试:第3次画线后,分割成 个互不重叠的正方形;
第4次画线后,分割成 个互不重叠的正方形.
发现:第n次画线后,分割成 个互不重叠的正方形;并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数.
探究:若干次画线后,能否得到1001个互不重叠的正方形?若能,求出是第几次画线后得到的;若不能,请说明理由.
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【题目】2019年11月22日,教育部发布关于《中小学教师实施教育惩戒规则(征求意见稿)》公开征求意见的通知,征求意见稿指出;教育惩戒是教师履行救育教学职责的必要手段和法定职权.教育惩戒分为:一般惩戒,:较重惩戒,:严重惩戒,:强制措施,共四个层次.为了解家长对教育惩戒的看法,某中学对学生家长进行了随机调查,要求每位家长选择其中最关注的一个层次提出意见,学校对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)被调查的总人数是______人;
(2)扇形统计图中部分对应的圆心角的度数为______;
(3)补全条形统计图;
(4)某班主任对学生进行了纪律教育,要求小明和小军分别从题中所述的四个层次中随机选择一个层次说明惩戒内容.请用列表法或画树状图法求两人选择不同教育惩戒层次的概率.
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【题目】如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(-4,m),B(-1,n),平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,点和矩形的边都在直线上,以点为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线于两点.已知: ,,矩形自右向左在直线上平移,当点到达点时,矩形停止运动.在平移过程中,设矩形对角线与半圆的交点为 (点为半圆上远离点的交点).
(1)如图2,若与半圆相切,求的值;
(2)如图3,当与半圆有两个交点时,求线段的取值范围;
(3)若线段的长为20,直接写出此时的值.
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【题目】如图,在边长都是1的小正方形组成的网格中,均为格点,线段,相交于点.
(1)________;
(2)设,将线段绕点逆时针旋转的角,点的对应点为,请你借助网格,使用无刻度的直尺画出点,并简要说明你是怎么画的___________.
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【题目】已知抛物线与x轴相交于不同的两点,
(1)求的取值范围
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点,并求出点的坐标;
(3)当时,由(2)求出的点和点构成的的面积是否有最值,若有,求出最值及相对应的值;若没有,请说明理由.
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【题目】等腰三角形的屋顶,是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中,AB=AC,测得BC=20米,∠C=41°,求顶点A到BC边的距离是多少米?(结果精确到0.1米.参考数据:sin41°≈0.656,cos41°≈0.755,tan41°≈0.869.)
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【题目】某超市为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样.规定:顾客在本超市一次性消费满200元,就可以在箱子里先后摸出2个小球(第一次摸出后不放回).某顾客刚好消费200元,则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率是( )
A. B. C. D.
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