Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

5

4

x²+bx+c经过点A（0，1）、B（3，

5

2

）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形？

Answer 1

（1）∵抛物线y=-

5

4

x²+bx+c经过点A（0，1）、B（3，

5

2

）两点，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+c= 5 2

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴抛物线解析式为：y=-

5

4

x2+

17

4

x+1；

（2）∵设点P的横坐标为t，
∴M点坐标为：（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
∴直线AB的解析式为：y=

1

2

x+1，
∵P点在直线AB上，点P的横坐标为t，
∴P点的纵坐标为：

1

2

t+1，
∴MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-

1

2

t-1=-

5

4

t²+

15

4

t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×t+

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×（3-t）
=-

15

8

t²+

45

8

t，
当t=

3

2

时，S最大值=

135

32

；

（3）t=1时，四边形PMBC为菱形．
理由：∵BC∥PM，当BC=MP时，四边形MPCB是平行四边形，
当BC=PC时，平行四边形PMBC是菱形，
∵B（3，

5

2

），
∴BC=

5

2

，即MP=PC=

5

2

=-

5

4

t²+

15

4

t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC=

( 1 2 t+1)2+(3-t)2

=

5

2

，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同时满足两个方程才可以，
故t=1．此时四边形PMBC为菱形．