Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE是直角边AB的垂直平分线，∠DBA=∠ABC，连接AD．求证：
（1）四边形ADBC是梯形；
（2）AD=

1

2

BC．

Answer 1

分析：（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB，进而可以证明AD∥BC，可以证出四边形ADBC是梯形；
（2）延长DE交BC于F，证明△BDE≌△BFE，从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出命题．

解答：证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠DBA=∠ABC，
∴∠ABC=DAB，
∴AD∥BC，
∵AC与BD不平行，
∴四边形ADBC是梯形，

（2）延长DE交BC于F，
∵∠DBA=∠ABC，∠DEB=∠BEF=90°，BE=BE
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD=AD，
∵∠BAC=∠BEF=90°
∴DF∥AC
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD=FC，FC=BF=AD，
∴AD=

1

2

BC．

点评：此题主要考查了垂直平分线的性质以及平行四边形的判定等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE交BC于F），是解决问题的关键．