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如图所示,⊙O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的大小.
(1)连接OC,
∵AB=4,∴OC=2
∵PC为⊙O的切线,∠CPO=30°
∴PC=
OC
tan30°
=
2
3
3
=2
3


(2)∠CMP的大小没有变化.
理由如下:∵∠CMP=∠A+∠MPA(三角形外角定理),∠A=
1
2
∠COP(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),
∠MPA=
1
2
∠CPO(角平分线的性质),
∴∠CMP=∠A+∠MPA=
1
2
∠COP+
1
2
∠CPO=
1
2
(∠COP+∠CPO)=
1
2
×90°=45°.
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