Question

（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=-

1

128

（t-19）²+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

Answer 1

分析：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

解答：解：（1）∵点C到ED的距离是11米，
∴OC=11，
设抛物线的解析式为y=ax²+11，由题意得B（8，8），
∴64a+11=8，
解得a=-

3

64

，
∴y=-

3

64

x²+11；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11-5=6米，
∴6=-

1

128

（t-19）²+8，
∴（t-19）²=256，
∴t-19=±16，
解得t₁=35，t₂=3，
∴35-3=32（小时）．
答：需32小时禁止船只通行．

点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．