Question

8．已知：抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P在y轴右侧的抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CP、BP，设△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）当∠BCP=∠ACO时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入抛物线解析式即可．
（2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，-m²+2m+3），根据S=S_△BCF-S_△PBF-S_△PCF即可解决．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=-x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，-m²+2m+3）
∵点C（0，3），
∴CF=BF=3，
∴S=S_△BCF-S_△PBF-S_△PCF=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×3×（3-m）-$\frac{1}{2}$×3×（3+m²-2m-3）
∴S=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m；
（3）存在2种情况：

①∠PCB=∠ACO，
∵∠BCF=45°，
∴tan∠BCF=1，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠PCB=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠PCF=tan（∠BCF-∠PCB）=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴点P坐标为：（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$），
②∠P'CB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠P'CB=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠P'CE=tan（∠BCE-∠P'CB）=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=2x-3，
∴点P坐标为：（4，5）．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点坐标及用待定系数法求解析式，第3小题要注意分类讨论思想的应用．