Question

11．如图，直线y=-2x+b（b＞0）交两坐标轴于点E、F，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象于点A，B，BC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若2BC-BD=2，则AB的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（x_A，y_A），点B的坐标为（x_B，y_B），由点B在直线y=-2x+b上结合2BC-BD=2，即可用含b的代数式表示出点B的坐标，进而可用含b的代数式表示出k，将一次函数解析式代入反比例函数解析式整理后，可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可求出x_A的值，进而可得出x_B-x_A、y_B-y_A的值，再利用两点间的距离公式即可求出线段AB的长度．

解答 解：设点A的坐标为（x_A，y_A），点B的坐标为（x_B，y_B），
∵点B在直线y=-2x+b上，且2BC-BD=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{B}+{y}_{B}=b}\\{2{x}_{B}-{y}_{B}=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{b+2}{4}}\\{{y}_{B}=\frac{b-2}{2}}\end{array}\right.$，
∴点B（$\frac{b+2}{4}$，$\frac{b-2}{2}$）．
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\frac{b+2}{4}$•$\frac{b-2}{2}$=$\frac{{b}^{2}-4}{8}$．
将y=-2x+b代入y=$\frac{\frac{{b}^{2}-4}{8}}{x}$中，
整理得：16x²-8bx+b²-4，
∴x_A+x_B=$\frac{b}{2}$，
∴x_A=$\frac{b-2}{4}$．
∴x_B-x_A=1，y_B-y_A=2，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{B}-{x}_{A}）^{2}+（{y}_{B}-{y}_{A}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系以及两点间的距离公式，分别求出x_B-x_A、y_B-y_A的值是解题的关键．