Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；

（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.

①求DE的最大值.

②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或；（3）①当时，最大值为4，②当或时，四边形MDNF为矩形.

【解析】

（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1．

（2）由∠POB=∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．
（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d=m+2时，DE=4，所以MN=8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）
∴设交点式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，点C在y轴负半轴
∴C（0，-3）
把点C代入抛物线解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3

（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H

∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH

∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，

∴△ABG是等腰直角三角形

∴OH=2PH
设P（p，-p2-4p-3）
①当p＜-3或-1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）

解得：

或

②当-3＜p＜-1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号
∴p=2（p2+4p+3）
解得：p1=-2，p2=-

∴P（-2，1）或

综上所述，点P的坐标为或或或；

（3）①如图2，

∵x=m+4时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35
∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）
设直线MN解析式为y=kx+n

∴

解得：

∴直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3
设D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4）
∵DE∥y轴
∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）
∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4
∴当t=m+2时，DE的最大值为4．

②如图3，

∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF，且MN与DF互相平分

∴DE= MN，E为MN中点

由①得当d=m+2时，DE=4
∴MN=2DE=8
∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82
解得：

∴m的值为或时，四边形MDNF为矩形．