Question

如图，I是Rt△ABC（∠C=90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得到相似比，表示三角形的两直角边a、b，由勾股定理求内切圆半径r，根据ab=2S_△ABC=r（a+b+c），求斜边c，根据S_△ABC=

1

2

ab求解．

解答：解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB=c，BC=a，AC=b，ID=IH=IG=r，
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得

a

c

=

r

m

，

b

c

=

r

n

，
解得a=

rc

m

，b=

rc

n

，
由勾股定理，得c²=a²+b²，得1=

r2

m2

+

r2

n2

，
解得r=

mn

m2+n2

，
又ab=2S_△ABC=r（a+b+c），
∴

r2c2

mn

=r（

rc

m

+

rc

n

+c），
解得c=m+n+

mn

r

=m+n+

m2+n2

，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

r2c2

2mn

=

1

2mn

（

mn

m2+n2

）²（m+n+

m2+n2

）²
=

mn(m2+n2+mn+(m+n) m2+n2 )

m2+n2

．
故答案为：

mn(m2+n2+mn+(m+n) m2+n2 )

m2+n2

．

点评：本题考查了三角形内心的性质．关键是作辅助线，利用三角形相似表示直角三角形的三边，利用直角三角形的面积公式求解．