解：（1）若k=0，则y=-2x+
是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若k≠0，则y=kx
2-2x+
（k≠0）是二次函数，
由△=b
2-4ac=4-6k=0，得k=
．
∴k=0或
．
（2）设反比例函数解析式为：y=
，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴m=k．
∴y=
．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
二次函数y=kx
2-2x+
，抛物线开口向下，其对称轴为直线x=
，
当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜
．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜
．
（3）存在．
抛物线解析式为：y=kx
2-2x+
，
令y=0，即kx
2-2x+
=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
．
∵x
12+x
22=1，
∴（x
1+x
2）
2-2x
1x
2=1，即：（
）
2-2•
=1
整理得：k
2+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4-6k＞0，解得k＜
，
∴k=1不符合题意，舍去，∴k=-4．
∴抛物线的解析式为：y=-4x
2-2x+
=-4（x+
）
2+
．
令y=0，解得x=
，
∴A（
，0），B（
，0）．
画出函数大致图象如下，则OA=
，OB=
，AB=
．
以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
∴
，
∴OP
2=OA•OB=
×
=
，∴OP=
．
S
△ABP=
AB•OP=
×
×
=
．
综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0，
）或（0，-
），△ABP的面积为
．
分析：（1）本问注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可；
（2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
（3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、反比例函数、一元二次方程、根与系数关系、根的判别式、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（1）问中，须分一次函数、二次函数进行讨论；第（3）问中，满足条件的点P有两个，容易漏解．可见分类讨论思想是本题考查重点，也是易失分点．
（k是常数）
都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，x12+x22=1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．