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已知函数y=kx²-2x+ $数学公式$ （k是常数）
（1）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
（2）若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx²-2x+ $数学公式$ 都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设抛物线y=kx²-2x+ $数学公式$ 与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

解：（1）若k=0，则y=-2x+ $\text{[math]}$ 是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若k≠0，则y=kx²-2x+ $\text{[math]}$ （k≠0）是二次函数，
由△=b²-4ac=4-6k=0，得k= $\text{[math]}$ ．
∴k=0或 $\text{[math]}$ ．

（2）设反比例函数解析式为：y= $\text{[math]}$ ，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴m=k．
∴y= $\text{[math]}$ ．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
二次函数y=kx²-2x+ $\text{[math]}$ ，抛物线开口向下，其对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，
当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜ $\text{[math]}$ ．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜ $\text{[math]}$ ．

（3）存在．
抛物线解析式为：y=kx²-2x+ $\text{[math]}$ ，
令y=0，即kx²-2x+ $\text{[math]}$ =0，
∴x1+x2= $\text{[math]}$ ，x1x2= $\text{[math]}$ ．
∵x₁²+x₂²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，即：（ $\text{[math]}$ ）²-2• $\text{[math]}$ =1
整理得：k²+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4-6k＞0，解得k＜ $\text{[math]}$ ，
∴k=1不符合题意，舍去，∴k=-4．
∴抛物线的解析式为：y=-4x²-2x+ $\text{[math]}$ =-4（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
令y=0，解得x= $\text{[math]}$ ，
∴A（ $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，0）．
画出函数大致图象如下，则OA= $\text{[math]}$ ，OB= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ ．

以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OP²=OA•OB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴OP= $\text{[math]}$ ．
S_△ABP= $\text{[math]}$ AB•OP= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）或（0，- $\text{[math]}$ ），△ABP的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）本问注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可；
（2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
（3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、反比例函数、一元二次方程、根与系数关系、根的判别式、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（1）问中，须分一次函数、二次函数进行讨论；第（3）问中，满足条件的点P有两个，容易漏解．可见分类讨论思想是本题考查重点，也是易失分点．

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