Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，P是AD的中点，BP交AC于点E，EF⊥BC于点F，若AE=3，EC=4，求EF的值．

Answer 1

分析 延长BE到G，使PG=BP，连接AG，得到△BPD≌△GPA，求得BD=AG，∠BDA=∠GAP，推出△BCE∽△AGE，得到比例式$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，设AG=BD=3k，BC=4k，根据射影定理得到AC²=CD•BC=k•4k，求得CD=$\frac{7}{2}$，得到∠DAC=30°，然后根据特殊角的三角函数即可得到结论．

解答 解：延长BE到G，使PG=BP，连接AG，
∵P是AD的中点，
∴AP=DP，
在△BDP与△AGP中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{∠BPD=∠GPA}\\{BP=PG}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△GPA，
∴BD=AG，∠BDA=∠GAP，
∴BD∥AG，
∴△BCE∽△AGE，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，
设AG=BD=3k，BC=4k，
∴CD=k，
∵∠BAC=90°AD⊥BC，
∴AC²=CD•BC=k•4k，
即7²=4k²，
∴k=$\frac{7}{2}$，
∴CD=$\frac{7}{2}$，
∴∠DAC=30°，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=30°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．