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(1999•上海)已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=α(定值),圆O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q.
(1)求∠POQ的大小(用α表示);
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与圆O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果AB=m(m为已知数),cosα=,设AD=x,DE=y,求y关于x的函数解析式(要指出函数的定义域)

【答案】分析:(1)根据题意得∠OAP=∠OBQ=α,再由圆O分别和AC、BC相切,推得∠POQ=2α;
(2)先证明△OEM≌△OEQ,得出两对相等的角:∠MOE=∠QOE,∠MOD=∠POD,则∠DOE=180°-a,从而得出结论∠DOE的大小保持不变.
(3)由三角函数的定义,求出AP,DM的长,然后证明△ADO∽△BOE,得出比例式,求得BE、ME,表示出DE=DM+ME=,写出所求的函数解析为y=x+
解答:解:(1)∵AC=BC,
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圆O分别和AC、BC相切于点P、Q,
∴∠OPA=∠OQB=90°,(1分)
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α(1分)
∴∠POQ=180°-2(90°-a)=2α(1分)

(2)∠DOE的大小保持不变,(1分)
说明理由如下:
连接OM,由切线长定理,EM=EQ
又∵OM=OQ,OE=OE,
∴△OEM≌△OEQ,
∴∠MOE=∠QOE(1分)
同理,∠MOD=∠POD(1分)
∴∠DOE=(∠POM+∠QOM)=(360°-∠POQ)=180°-a,
∵a为定值,
∴∠DOE的大小保持不变.

(3)由OP=OQ,并根据等腰三角形的性质,得O是AB的中点,
即OA=OB=AB=
AP=BQ=AO•cosa=m,DM=DP=+x(1分)
在△ADO和△BOE中,∠DAO=∠OBE=180°-α
∵∠ADO+∠AOD=∠OAP=α,
又∵∠BOE+∠AOD=180°-∠DOE=α,
∴∠ADO=∠BOE,于是△ADO∽△BOE(1分)
,BE==(1分)
∴ME=QE=QB+BE=(1分)
∴DE=DM+ME==
因此所求的函数解析为y=x+.(1分)
点评:此题作为压轴题,综合考查函数、方程与圆的切线,三角形相似的判定与性质等知识.难度较大,有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质.
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