Question

已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左边），且x₁+x₂=4．
（1）求b的值及c的取值范围；
（2）如果AB=2，求抛物线的解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，问是否存在这样的抛物线，使△AOC≌BED全等，如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的两根，则△＞0，及根与系数关系可求b的值及c的取值范围；
（2）由根与系数关系及AB=|x₁-x₂|，可求c的值；
（3）根据图形的全等分两种情况，当OC=DE时和当OC=BE时，分别讨论．

解答：解：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的两根，
∴△=b²-4•（-1）•c＞0，x₁+x₂=b，
又x₁+x₂=4，
∴b=4，c＞-4；

（2）由（1）可得y=-x²+4x+c，x₁+x₂=4，x₁•x₂=-c，
而AB=|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，16+4c=4，
解得c=-3，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3；

（3）存在；由（1）可得y=-x²+4x+c，
∴C（0，c），D（2，c+4）；
当OC=DE时，|c|=c+4，
解得c=-2，
当OC=BE时，AB=2OC，
即|x₁-x₂|=2|c|，
∴（x₁-x₂）²=4c²；16+4c=4c²
解得c=

1+ 17

2

或

1- 17

2

；
满足题意的抛物线解析式为：y=-x²+4x+

1+ 17

2

，y=-x²+4x+

1- 17

2

．

点评：本题考查了二次函数图象和x轴的交点与一元二次方程两根的关系，掌握用两根的表达式表示线段的长度，解决全等三角形的问题．