Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求△DFB的面积．

Answer 1

分析：（1）直线BD和⊙O的位置关系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到
（2）根据垂径定理得出BF=CF=

1

2

BC=4，连接AC，由AB是圆的直径得到∠ACB=∠DFB=90°，证出△ACB∽△BED，根据相似三角形的性质得到

S△BED

S△ACB

=(

BF

AC

)2=(

4

6

)2=

4

9

，求出△ABC的面积，即可求出△DFB的面积．

解答：（1）答：直线BD和⊙O的位置关系是相切，
证明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥弦BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠DOB+∠ABC=90°，
∴∠BOD+∠D=90°，
∴∠OBD=180°-90°=90°，
∵OB是半径，
∴直线BD是圆O的切线，
即直线BD和⊙O的位置关系是相切；

（2）解：∵OD⊥BC，OE是圆O的半径，BC=8，
∴BF=CF=

1

2

BC=4，
∠DFB=90°，
连接AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∵∠D=∠ABC，
∴△ACB∽△BFD，
∴

S△BFD

S△ACB

=(

BF

AC

)2=(

4

6

)2=

4

9

，
∵△ABC的面积是

1

2

×6×8=24，
∴△DFB的面积是

32

3

，
答：△DFB的面积是

32

3

．

点评：本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键，题型较好，综合性强．