Question

1．如图，直线y=-2x+2与抛物线y=ax²+bx（a＜0）相交于点A，B．双曲线y=$\frac{k}{x}$过A、B两点，已知点B的坐标为（2，-2），点A在第二象限内，且tan∠Aoy=$\frac{1}{4}$．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△AOB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△AOP的面积等于△AOB的面积？若存在，请你写出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用待定系数法求出双曲线解析式，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出△AOB的面积，在求出△BOC的面积即可；
（3）先求出直线PB解析式为y=-4x+6，和抛物线解析式为y=x²-3x，联立方程组求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线经过点B，
∴k=-4，
∴双曲线解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
∵tan∠AOy=$\frac{1}{4}$，
设A（-m，4m），
∵点A 过双曲线，
∴m=1或m=-1（舍），
∴A（-1，4）；
∵抛物线过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a+2b}\\{4=a-b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-3x，
（2）设直线y=-2x+2交于x轴于C，令y=0，
∴x=1，
∴OC=1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=3，
（3）存在点P（-3，18），
理由：假设存在点P，使△AOP的面积等于△AOB的面积；
∴点P到直线OA的距离等于点B到直线OA的距离，
∴PB∥AO，
∵直线AO解析式为y=-4x，
∴设直线PB的解析式为y=-4x+f，
∵直线PB过点B，
∴-2=-4×2+f，
∴f=6，
∴直线PB解析式为y=-4x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+6}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$（舍），
P（-3，18）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的性质，双曲线的性质，面积的计算，解本题的关键是求出函数解析式．