分析 (1)先用待定系数法求出双曲线解析式,再用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先求出△AOB的面积,在求出△BOC的面积即可;
(3)先求出直线PB解析式为y=-4x+6,和抛物线解析式为y=x2-3x,联立方程组求解即可.
解答 解:(1)∵双曲线经过点B,
∴k=-4,
∴双曲线解析式为y=-$\frac{4}{x}$,
∵tan∠AOy=$\frac{1}{4}$,
设A(-m,4m),
∵点A 过双曲线,
∴m=1或m=-1(舍),
∴A(-1,4);
∵抛物线过点A,B,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a+2b}\\{4=a-b}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
∴抛物线解析式为y=x2-3x,
(2)设直线y=-2x+2交于x轴于C,令y=0,
∴x=1,
∴OC=1,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=3,
(3)存在点P(-3,18),
理由:假设存在点P,使△AOP的面积等于△AOB的面积;
∴点P到直线OA的距离等于点B到直线OA的距离,
∴PB∥AO,
∵直线AO解析式为y=-4x,
∴设直线PB的解析式为y=-4x+f,
∵直线PB过点B,
∴-2=-4×2+f,
∴f=6,
∴直线PB解析式为y=-4x+6,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+6}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$(舍),
P(-3,18).
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,抛物线的性质,双曲线的性质,面积的计算,解本题的关键是求出函数解析式.
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