Question

8．如图，矩形△ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD中点，P为AB边上一动点（含端点），F为CP中点，则△CEF的周长最小值为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线的性质得到EF=$\frac{1}{2}$PD，得到C_△CEF=CE+CF+EF=CE+$\frac{1}{2}$（CP+PD）=$\frac{1}{2}$（CD+PC+PD）=$\frac{1}{2}$C_△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，于是得到结论．

解答 解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$PD，
∴C_△CEF=CE+CF+EF=CE+$\frac{1}{2}$（CP+PD）=$\frac{1}{2}$（CD+PC+PD）=$\frac{1}{2}$C_△CDP，
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，
∵AD=AD′=BC，AD′∥BC，
∴四边形AD′BC是平行四边形，
∴AP=PB=1，PD′=PC，
∴CP=PD=$\sqrt{2}$，
∴C_△CEF=$\frac{1}{2}$C_△CDP=$\sqrt{2}$+1，
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，三角形的周长的计算，正确的作出图形是解题的关键．