Question

12．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；
（2）首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．

解答 证明：（1）∵AE∥BF，
∴∠BCA=∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BCA=∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD；

（2）∵△BAC是等腰三角形，
∴AB=CB，
∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，
∴△ABD也是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴DA=CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，难度不大．