Question

8．先阅读，再解决问题，例题：若m²+2mn+2n²-6n+9=0，求m和n的值．
（1）若x²+2y²-2xy+4y+4=0，求x^y的值
解：∵m²+2mn+2n²-6n+9=0问题：
∴m²+2mn+n²+n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0
∴m+n=0，n-3=0
∴n=3，m=-3
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
（3）根据以上的方法是说明代数式：x²+4x+y²-8y+21的值一定是一个正数．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的阅读材料可根据x²+2y²-2xy+4y+4=0，求得x、y的值，从而求得x^y的值；
（2）根据a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，可以求得a、b、c的值，从而可以判断△ABC是怎样形状的三角形；
（3）利用配方法可以对式子x²+4x+y²-8y+21化简，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵x²+2y²-2xy+4y+4=0，
∴x²-2xy+y²+y²+4y+4=0，
∴（x-y）²+（y+2）²=0，
∴x-y=0，y+2=0，
∴x=-2，y=-2，
∴${x}^{y}=（-{2）}^{-2}=\frac{1}{4}$；
（2）∵a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，
∴a²-6a+9+b²-6b+9+|3-c|=0，
∴（a-3）²+（b-3）²+|3-c|=0，
∴a-3=0，b-3=0，3-c=0，
∴a=3，b=3，c=3，
∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数，
∴△ABC是等边三角形；
（3）∵x²+4x+y²-8y+21
=x²+4x+4+y²-8y+16+1
=（x+2）²+（y-4）²+1≥1，
故x²+4x+y²-8y+21的值一定是一个正数．

点评 本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．