Question

7．如图，一次函数y₁=k₁x+1与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$图象交于点A（$\sqrt{3}$，m）和点B（-2$\sqrt{3}$，-1），与x轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，若M为x轴上一动点，N为y轴上一动点，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则写出符合条件的所有M点的坐标分别为（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，0）．．

Answer 1

分析 由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k₂的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．

解答 解：∵一次函数y₁=k₁x+1与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$图象交于点A（$\sqrt{3}$，m）和点B（-2$\sqrt{3}$，-1），
∴k₂=（-2$\sqrt{3}$）×（-1）=2$\sqrt{3}$，-1=-2$\sqrt{3}$k₁+1
∴k₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2，
∴A（$\sqrt{3}$，2），y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∴C（-$\sqrt{3}$，0），
如图．
分两种情况：
①当M点和A点相邻时．四边形M₁ACN₁是平行四边形，
∴M₁（2$\sqrt{3}$，0），N₁（0，-2）；
②当M和C点相邻时．四边形N₂ABM₂是平行四边形，
∴M₂（-2$\sqrt{3}$，0），N₂（0，2）；
当AC为对角线时，四边形ACNM是平行四边形，
∴M₃（0，0），N₃（0，2）．
综上可知，符合条件的M、N点的坐标分别为M₁（2$\sqrt{3}$，0），N₁（0，-2）或M₂（-2$\sqrt{3}$，0），N₂（0，2）或M₃（0，0），N₃（0，2），
故答案为（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，0）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数的性质及平行四边形的性质，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论思想的运用．