Question

如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为

 

．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的性质,含30度角的直角三角形,扇形面积的计算

专题：几何图形问题

分析：连接OC，由AB为圆的切线，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在直角三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，阴影部分面积=三角形AOB面积-扇形面积，求出即可．

解答：解：连接OC，
∵AB与圆O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，
∴OC=

1

2

OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC=

OA2-OC2

=2

3

，即AB=2AC=4

3

，
则S_阴影=S_△AOB-S_扇形=

1

2

×4

3

×2-

120π×22

360

=4

3

-

4π

3

．
故答案为：4

3

-

4π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．