Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中线，过C的直线CG⊥AD于E，交AB于F，∠FBG=45°．
求证：（1）△ACD≌△CBG；
（2）∠ADC=∠FDB．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，又∠FBG=45°，
∴∠CBG=∠CBA+∠FBG=90°，
∵CG⊥AD，
∴∠GCB+∠CDA=90°，又∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠GCB=∠CAD，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA）；
（2）∵△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，∠ADC=∠CGB，
又D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BG=BD，
在△BGF和△BDF中，
，
∴△BGF≌△BDF（SAS），
∴∠CGB=∠BDF，
∴∠ADC=∠BDF．
分析：（1）由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠CBA=45°，再由∠FBG=45°，根据∠CBA+∠FBG求出∠CBG为直角，得到一对直角相等，再由CG垂直于AD，得到两对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，以及AC=BC，利用ASA即可得出△ACD≌△CBG；
（2）由△ACD≌△CBG，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等分别得到CD=BG，∠ADC=∠CGB，由D为BC的中点，得到CD=BD，等量代换得到BD=BG，由BF为公共边及夹角都为45°角相等，利用SAS可得出△BGF≌△BDF，利用全等三角形的对应角相等得到∠CGB=∠BDF，等量代换即可得证．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．