Question

5．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．
（1）求证：DM=MN；
（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）在AD上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可；
（2）在AD的延长线上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可．

解答 证明：（1）如图1，在AD上截取AF=AM，
∵△ABD是等边三角形，
∴△AMF是等边三角形，
∴DF=MB，∠DFM=120°，
∵BN是∠DBA外角平分线，
∴∠MBN=120°，
∴∠DFM=∠MBN，
∵∠DMN=60°，
∴∠BMN+∠AMD=120°，
∴∠A=60°，
∴∠FDM+∠AMD=120°，
∴∠FDM=∠BMN，
在△FDM和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDM=∠BMN}\\{DF=MB}\\{∠DFM=∠MBN}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△BMN（ASA），
∴DM=MN．
（2）点M在AB的延长线上，如图2所示，在AD的延长线上截取AF=AM，
∵△ABD是等边三角形，
∴△AMF是等边三角形，
∴DF=MB，∠DFM=60°，
∵BN是∠DBA外角平分线，
∴∠MBN=60°，
∴∠DFM=∠MBN，
∵∠BMN=∠AMD+∠DMN，∠FDM=∠A+∠AMD，
∠DMN=∠A=60°，
∴∠FDM=∠BMN，
在△FDM和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDM=∠BMN}\\{DF=MB}\\{∠DFM=∠MBN}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△BMN（ASA），
∴DM=MN．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．