【题目】如图 1,直线 MN 与直线 AB,CD 分别交于点 E,F,∠1 与∠2 互补.
(1)试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系,并说明理由;
(2)如图 2,∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P,EP 与 CD 交于点 G,点 H 是 MN 上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图 3,在(2)的条件下,连结 PH,在 GH 上取一点 K,使得∠PKG=2∠HPK,过点 P 作 PQ 平分∠EPK 交 EF 于点 Q,问∠HPQ 的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.(温馨提示:三角形的三个内角和为 180°)
【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)的大小不会发生变化,一直都是
【解析】
(1)根据邻补角的定义可得与∠2 互补,再根据同角的邻角相等,可证得,然后利用同位角相等,两直线平行,可证得结论.
(2)利用两直线平行,同旁内角互补,可得,再利用角平分线的定义去证明,可得,然后根据同垂直于一条直线的两直线平行,可证得结论.
(3)利用垂直的定义可证得,利用邻补角的定义可证得,再由,可得,再利用角平分线的定义,可推出,由,即可求出的度数.
(1)∵∠1 与∠2 互补,与∠2 互补
∴
∴.
(2)∵
∴
∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P
∴
∴,即
∵
∴
∴.
(3)的大小不发生变化,理由如下
∵
∴
∴
∵
∴
∵PQ平分
∴
∴
∴的大小不会发生变化,一直都是.
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【题目】如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8 cm,AB=10 cm. 现有一动点P,从A点出发,沿着三角形的边AC-CB-BA运动,回到A点停止,速度为1 cm/s,设运动时间为t s.
(1)当t=_______时,△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分.
(2)当t=_______时,△APC的面积等于△ABC面积的一半.
(3)还有一个△DEF,∠E=90°,如图②所示,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A. 在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与P 同时从A点出发,沿着边AB-BC-CA运动,回到点A停止. 在两点运动过程中某一时刻,恰好△APQ与△DEF全等,则点Q的运动速度 cm/s.
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【题目】甲、乙两人共同计算一道整式乘法题:(2x+a)(3x+b).甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”,得到的结果为6x2+11x﹣10;乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2﹣9x+10.
(1)求a、b的值.
(2)计算这道乘法题的正确结果.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.
(1)求证:∠FAD=∠FDA;
(2)若∠B=50°,求∠CAF的度数.
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【题目】如图,四边形ABCD中,F是CD上一点,E是BF上一点,连接AE、AC、DE.若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC,则下列结论中:①△ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)
∴∠1=∠4( )
∴c∥a( )
又∵∠2+∠3=180°(已知 )
∠3=∠6( )
∴∠2+∠6=180°( )
∴a∥b( )
∴c∥b( )
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【题目】问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或 a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32?
如图2,A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33= .(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3= .(直接写出结论即可,不必写出解题过程)
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【题目】如图,D、B、C三点在同一条直线上,∠C=50°,∠FBC=80°.问:∠DBF的平分线BE与AC有怎样的位置关系?并说明理由.
解:BE与AC一定平行.
∵D、B、C三点在同一条直线上,
∴∠DBF+∠FBC=180°( ).
又∵∠FBC=80°(已知).
∴∠DBF= .
又∵BE平分∠DBF(已知).
∴( ).
又∵∠C=50°(已知),
∴∠ =∠ ( ),
∴ ∥ .( )
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【题目】某商场经销一种商品,已知其每件进价为40元。现在每件售价为70元,每星期可卖出500件。该商场通过市场调查发现:若每件涨价1元,则每星期少卖出10件;若每件降价1元,则每星期多卖出m(m为正整数)件。设调查价格后每星期的销售利润为W元。
(1)设该商品每件涨价x(x为正整数)元,
①若x=5,则每星期可卖出____件,每星期的销售利润为_____元;
②当x为何值时,W最大,W的最大值是多少。
(2)设该商品每件降价y(y为正整数)元,
①写出W与Y的函数关系式,并通过计算判断:当m=10时每星期销售利润能否达到(1)中W的最大值;
②若使y=10时,每星期的销售利润W最大,直接写出W的最大值为_____。
(3)若每件降价5元时的每星期销售利润,不低于每件涨价15元时的每星期销售利润,求m的取值范围。
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