Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
求：（1）判断△ADE的形状，并说明理由，并求其周长．
（2）求AB的长．

Answer 1

解：（1）△ADE是等边三角形，
∵BD⊥CD，AC⊥AB，
∴△ABC，△CDB是直角三角形，
又∵E是BC边上的中点，
∴AE=BC，DE=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AE=DE，
又∵BC=2AD（即AD=BC），
∴AE=DE=AD，
∴它是等边三角形；
∵BC=2AD=4cm，
∴AD=2，
∴△ADE的周长=2+2+2=6cm．

（2）∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE=2及∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
又E为BC边的中点，BE=BC=2，
∴BE=AE，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=2．
分析：（1）由已知条件BD⊥CD，AC⊥AB，可知△ABC，△CDB是直角三角形，可得AE=DE=BC，又AD=BC，由此得出：△ADE是等边三角形．
（2）由△ADE是等边三角形，易证明△ABE为等边三角形，即可求出AB的长．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，难度较大，做题时要灵活运用题中给出的已知条件，熟悉等腰梯形的性质．