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    在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.

    原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB＝90° , ∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA＝DB,  EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

    1.写出原问题中DF与EF的数量关系

    2.如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

    3.如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中

    得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明

     

    【答案】

     

    1.DF= EF.     ……………………………（2分）

    2.猜想：DF= FE.

    证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.

    ∵ DA=DB，∠ADB=60°.

    ∴ AG=BG， △DBA是等边三角形.

    ∴ DB=BA.

    ∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=30°，

    ∴ AC=AB=BG.    ∴ △DBG≌△BAC.

    ∴ DG=BC.         ∵ BE=EC， ∠BEC=60° ，

    ∴ △EBC是等边三角形.

    ∴ BC=BE， ∠CBE=60°.

    ∴ DG= BE， ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .

    ∵ ∠DFG =∠EFB，∠DGF =∠EBF，

    ∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF.          ………………（7分）

    3.猜想：DF= FE.

    过点D作DH⊥AB于H， 连接HC、HE、HE交CB于K，则∠DHB=90°.

     

     

     

     

     

     

     


    ∵ DA=DB,     ∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.

    ∵ ∠ACB=90°，∴ HC=HB.

    ∵ EB=EC，HE=HE，

    ∴ △HBE≌△HCE.  

    ∴ ∠2=∠3，∠4=∠BEH.  ∴ HK⊥BC.

    ∴ ∠BKE=90°.     

    ∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC，

    ∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

    ∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，

    ∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.

    ∴ DB//HE， DH//BE.

    ∴ 四边形DHEB是平行四边形.

    ∴ DF=EF.  ………………………………………………………（12分）

    【解析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．

     

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    小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
    小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
    小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
    请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
    （1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
    （2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
    （3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，精英家教网你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

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    1.写出原问题中DF与EF的数量关系

    2.如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

    3.如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中

    得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明

     

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