练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•长宁区二模）在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
    （1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=
    0、2或4±2
    		2
    0、2或4±2
    		2
    时，△PEC是等腰三角形；
    （2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；
    （3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．
    分析：（1）根据△PEC是等腰三角形，分类进行讨论即可；
    （2）连接BP，首先根据题干条件证明出∠BPD=∠CPE，然后证明△DPB≌△EPC，于是证明出PD=PE；
    （3）过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H，首先根据角之间的关系求出∠GMD=∠HME，进而证明出△MGD∽△MHE，根据相似三角形对应边成比例，得到
    GM
    HM
    =
    MD
    ME
    ，再求出GM、HM关于m、n的表达式，三式结合求出MD、ME之间的比例关系．
    解答：（1）解：当BE=0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
    当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形
    由题干条件知PC=2
    		2
    ，当CP=CE时△PEC是等腰三角形，BE=4-2
    		2
    ； 
    当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2
    		2
    ；
    故答案为0、2或4±2
    		2
    ．   

    （2）证明：连接BP．
    ∵AB=BC 且∠ABC=90°，
    ∴∠C=45°，
    又∵P是AC中点，
    ∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
    ∴∠CPE+∠EPB=90°，
    ∵DP⊥PE，
    ∴∠BPD+∠EPB=90°，
    ∴∠BPD=∠CPE，
    在△DPB和△EPC中
    ∵
    ∠BPD=∠CPE
    BP=CP
    ∠ABP=∠C
    ，
    ∴△DPB≌△EPC，
    ∴PD=PE，

    （3）解：MD、ME的数量关系是：
    MD
    ME
    =
    m
    n
    ，
    理由如下：
    过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．
    由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
    又∵∠B=90°，
    ∴∠GMH=90°，
    ∴∠GMD+∠DMH=90°，
    ∵∠DMH+∠HME=90°，
    ∴∠GMD=∠HME
    ∴△MGD∽△MHE，
    ∴
    GM
    HM
    =
    MD
    ME
    ①，
    ∵
    AM
    MC
    =
    m
    n
    ，
    ∴
    AM
    AC
    =
    m
    m+n
    ，
    ∵∠MGA=∠B=90°，
    ∴GM∥BC，
    ∴
    GM
    BC
    =
    AM
    AC
    =
    m
    m+n
    即GM=BC•
    m
    m+n
    ②
    同理 HM=AB•
    n
    m+n
    ，
    ∵AB=BC，
    ∴HM=BC•
    n
    m+n
    ③
    ②③代入①得
    MD
    ME
    =
    m
    n
    ．
    点评：本题主要考查相似综合题得知识点，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质定理，此题难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）已知下列图案，其中为轴对称图形的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）（-x3）2的计算结果是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）已知
    		2a+4
    与
    		2
    是同类二次根式，实数a的值可以是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）反比例函数y=-
    10
    x
    的图象在直角坐标平面的（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）下列命题中，真命题的个数有（　　）
    ①长度相等的两条弧是等弧；
    ②不共线的三点确定一个圆；
    ③相等的圆心角所对的弧相等；
    ④垂直弦的直径平分这条弦．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案