Question

18．已知正方形ABCD，点P、Q分别是边AD、BC上的两动点，将四边形ABQP沿PQ折叠得到四边形EMQP，点E刚好落在CD边上，且DE=3，EF交BC于点H，连接AE，过点A作AF⊥EH于点F，取对角线AC的中点O，连接OF并延长交CD于点G，△ECH周长为18，则△EFG的周长为6+$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 过Q作QK⊥AD，连接AH、OH，如图所示：首先证明△ECH的周长=2AB，求出正方形的边长，在Rt△PDE中，利用勾股定理求出PD、PE，由△ADE≌△QKP，推出PK=DE=3，BQ=AK=5-3=2=QM，由△PDE∽△HMQ，可得HQ=2.5，推出CH=9-2-2.5=4.5，FH=BH=2=2.5=4.5，再利用平行线的性质，分别求出△EFG的边长即可解决问题．

解答 解：过Q作QK⊥AD，连接AH、OH，如图所示：
∵将四边形ABQP沿PQ折叠得到四边形EMQP，点E刚好落在CD边上，
∴AP=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠D=∠DAB=∠PEF=90°，
∵∠PAE+∠DEA=90°，
∴∠PEA+∠DEA=90°，
∵∠PEA+∠FEA=90°，
∴∠DEA=∠FEA，
∴AE是∠DEF的平分线，
∵AF⊥EH，∴AF=AD=AB，
在Rt△ADE和Rt△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴EF=DE=3，
在Rt△AFH和Rt△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFH≌Rt△ABH（HL），
∴FH=BH，
∴EC+EH+CH=EC+DE+BH+CH=DC+CB=2AB，
∵△ECH周长为18，
∴AB=9，
∴AB=BC=CD+AD=9，设DP=x，则AP=9-x=EP，
由勾股定理得：DE²=EP²-DP²，即3²=（9-x）²-x²，解得：x=4，
∴AP=PE=5，易证△ADE≌△QKP，
∴PK=DE=3，BQ=AK=5-3=2=QM，由△PDE∽△HMQ，可得HQ=2.5，
∴CH=9-2-2.5=4.5，FH=BH=2=2.5=4.5，
∴CH=BH，∵CO=OA，
∴OH∥AB∥CD，∵OH=4.5=FH，
∴EF=EG=3，
∴CG=3=EG，
∴G是EC中点，
∴OG∥AE．OG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∵EG∥ON，
∴$\frac{EG}{OH}$=$\frac{GF}{OF}$=$\frac{3}{4.5}$=$\frac{2}{3}$，
∴FG=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∴△EFG的周长为3+3+$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$=6+$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案为6+$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会填空常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．