Question

【题目】有三个函数，对于同一个自变量x，对应的函数值分别为，若恰好有，则称y为的“中值函数”.

（1）若的图像为直线，的图像是抛物线，则它们的中值函数的图像为（ ）

A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.以上答案均错

（2）若、它们的中值函数为，

①若点P在、和它们的中值函数图像上，则点P的坐标为_________.

②在如图中，画出上述中值函数的大致图象.并根据图象写出这个中值函数的两条性质；

性质1：_______________________________；

性质2：_______________________________；

③利用中值函数的性质说明：面积为1的长方形，当该长方形长与宽相等时，周长最小.

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①（1，2），②性质1：当x=1时，中值函数y的值最小为2；

性质2：当0<x<1时，中值函数y随x的增大而减小；③见详解

【解析】

（1）根据题意设，则根据可判断y的函数图像；

（2）①根据点P在、和它们的中值函数图像上，联立方程即可求出点P的坐标；②根据中值函数解析式画出函数图象，根据图象观察即可得出性质即可；③设长为x，则宽为，则周长，根据中值函数性质即可求解.

解：（1）依题意设

则

∴y依然是二次函数则中值函数的图像为抛物线

故选B；

（2）①点P在、和它们的中值函数图像上

∴解得

∴

则点P的坐标为（1，2）；

②根据函数解析式画函数图象如下：

性质1：当x=1时，中值函数y的值最小为2；

性质2：当0<x<1时，中值函数y随x的增大而减小；

（3）设长为x，则宽为，则周长

由中值函数的定义可知，c为的中值函数

由性质可知，当即时，c取得最小值

∴

∴（-1舍去）

即改长方形为正方形时，周长最小.