Question

如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在?ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=，点E、F、B、C在同一直线上，且FB=1cm，矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右运动，当边GF所在直线到达D点时即停止．
（1）在矩形运动过程中，何时矩形的一边恰好通过?ABCD的边AB或CD的中点．
（2）若矩形运动的同时，点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线，以cm/s的速度运动，矩形停止时点Q也即停止运动，则点Q在矩形一边上运动的时间为多少s？
（3）在矩形运动过程中，当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，求出重叠部分面积S（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出时间t的范围．是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S=16.5cm²？若存在，求出时间t，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）何时矩形的一边恰好通过?ABCD的边AB或CD的中点，题目本身就不明确，到底是GF还是HE，经过了AB的中点还是CD的中点，所以必须分情况讨论，即①当GF边通过AB边的中点②当EH边通过AB边的中点③当GF边通过CD边的中点
（2）点Q在矩形一边上运动的时间为多少s，这里的“一边”是哪一边，必须分情况进行解释，所以也有三种情况．
（3）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，则BE、AH都可用含有t的式子表示出来．在矩形EFGH中易证△AHP∽△BEP根据对应线段成比例，可求出EP的长，因此面积可表示出来．
解答：解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3（1分）
①当GF边通过AB边的中点N时，
有BF=BM=2，
∴t₁=3（s）．（2分）
②当EH边通过AB边的中点N时，
有BE=BM=2
∴BF=2+6=8
∴t₂=8+1=9（s）．（3分）
③当GF边通过CD边的中点K时，
有CF=2
∴t₃=1+10+2=13（s）
综上，当t等于3s或9s或13s时，矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点（每少一种情况扣1分）．（4分）

（2）点Q从点C运动到点D所需的时间为：
5÷（）=10（s）
此时，DG=1+14-10=5
点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为：（6分）
∴矩形从与点Q相遇到运动停止所需的时间为：
从相遇到停止点Q运动的路程为：，＜6
即点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动
∴点Q在矩形的一边上运动的时间为：．（不交待理由扣1分）（8分）

（3）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形
则BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t
在矩形EFGH中，有AH∥BF
∴△AHP∽△BEP
∴=，
∴=，
∴PH=，
∴S=18-，
=-（t-11）²+18（7＜t＜11）（10分）
由对称性知当11＜t＜15时重叠部分仍为五边形
综上S与t的函数关系式为：S=-（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11）（12分）
（t的取值范围不正确扣2分）
把s=16.5代入得：16.5=-（t-11）²+18，
解得：t=9或13，
故当t=9或13时重叠部分的面积为16.5cm²．（13分）
点评：此题在解答过程中，一定要注意分情况讨论，另外还考查了二次函数的一些基本应用，考查比较全面，难易程度适中．