Question

阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则
（1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），
则在Rt△ABD中，AD=______；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示）
在Rt△ACD中，AD=______；
∴______=______
∴______=______
同理最后可得，______=______=______；
（2）用尺规画△ABC的外接圆⊙O，半径为r（图2），请你另用不同的方法证明以上结论；并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系．
（3）应用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=，则a=______，外接圆半径r=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正弦的定义写出，然后再等量代换进行整理；
（2）过点C作直径交⊙O于点D，连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠A，直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入整理即可，同理可证其它两个也成立；
（3）代入上述结论计算即可．
解答：（1）解：AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，
，
同理可得：==；

（2）证明：如图，点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∠DBC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=，
∴==2r，
同理可证：=2r，=2r，
∴===2r；

（3）解：∵=，∠A=30°，∠B=45°，b=，
∴=，
解得a=×=1，
∵=2r，
∴=2r，
解得r=1，
故答案为：a=1，r=1．
点评：本题考查了解直角三角形，主要利用了正弦的定义，（2）的证明作出辅助性，构造出以直径为斜边的直角三角形是解题的关键，也是难点，希望同学们要多动脑筋，从题目的条件与结论入手考虑问题．