Question

【题目】如图1，已知点A（0，9），B（24，9），C（22+3 ，0），半圆P的直径MN=6 ，且P，A重合时，点M，N在AB上，过点C的直线l与x轴的夹角α为60°．现点P从A出发以每秒1个单位长度的速度向B运动，与此同时，半圆P以每秒15°的速度绕点P顺时针旋转，直线l以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动（与x轴的交点为Q）．当P、B重合时，半圆P与直线l停止运动．设点P的运动时间为t秒．

【发现】
（1）点N距x轴的最近距离为 ， 此时，PA的长为；
（2）t=9时，MN所在直线是否经过原点？请说明理由．
（3）如图3，当点P在直线l时，求直线l分半圆P所成两部分的面积比．

（4）【拓展】如图4，当半圆P在直线左侧，且与直线l相切时，求点P的坐标．

（5）【探究】求出直线l与半圆P有公共点的时间有多长？

Answer 1

【答案】
（1）9﹣3 ；6
（2）解：MN所在直线经过原点，

理由：当t=9时，∠APN=180°﹣9×15°=45°，AP=9×1=9，

设此时直线MN交y轴于点D，

则AD=APtan45°=9×1=9，

又OA=9，

所以点D与点O重合，即MN所在直线经过原点

（3）解：如图1，

当点P在直线l上时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴OQ=OH+QH=AP+ =t+ =3 +t，

∴CQ=t，

∵OQ+CQ=3 +t+t=OC=22+3 ，得t=11，

此时，∠APN=180°﹣11×15°=15°，

∠NPQ=180°﹣15°﹣60°=105°，

∠MPQ=180°﹣105°=75°，

∴S左：S右=105：75=7：5；

（4）解：如图2，

设直线l与AB交于点E，与半圆P相切于点T，

则PT=3 ，PE= = =6，AE=AP+PE=t+6，

过点E作EF⊥x轴，垂足为F，

则OQ=OF+FQ=AE+ =（t+6）+ =6+3 +t，

CQ=t，

由OQ+CQ=6+3 +t+t=OC=22+3 ，得t=8，

此时，点P的坐标为（8，9）；

（5）解：当半圆P在直线右侧，且与直线l相切时，如图3所示，

设直线l与AB交于点G，与半圆P相切于点R，

则PR=3 ，PG= = =6，AG=AP﹣PG=t﹣6，

过点G作GJ⊥x轴，垂足为J，

则OQ=OJ+JQ=AG+ =（t﹣6）+ =3 ﹣6+t，

CQ=t，

由OQ+CQ=3 ﹣6+t+t=OC=22+3 ，得t=14，

则直线l与半圆P有公共点的时间为14﹣8=6秒．

【解析】解：发现（1）当PN∥y轴时，点N距x轴的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵MN=6 ，
∴PN= MN=3 ，
∴点N距x轴的最近距离为9﹣3 ，
此时∠APN=90°，
∴t= =6，
∴PA的长为6；
所以答案是：9﹣3 ，6；