Question

已知：半径为1的⊙O₁与x轴交A、B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点，与y轴交于点C
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）经过坐标原点O的直线l与⊙O₁相切，求直线l的解析式；
（3）若M为二次函数y=-x²+bx+c的图象上一点，且横坐标为2，点P是x轴上的任意一点，分别联结BC、BM．试判断PC-PM与BC-BM的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件先求出A和B点的坐标，再代入y=-x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）设直线l与⊙O相切于点E，过点E作EH⊥x轴于点H，由已知数据求出E点的坐标即可求出直线l的解析式；
（3）PC-PM与BC-BM的大小关系是PC-PM≤BC-BM，此小题要分两种情况讨论分别是①当点P于点B重合时，有PC-PM=BC-BM，②当P异于B时，PC-PM＜BC-BM．
解答：解：（1）由题意可知A（1，0），B（3，0）
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A，B两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式y=-x²+4x-3；
（2）如图，设直线l与⊙O相切于点E，
∴O₁E⊥l，

∵O₁O=2，O₁E=1，∴OE=，
过点E作EH⊥x轴于点H，
∴EH=，OH=，
∴E（，），
∴l的解析式为：y=x，
根据对称性，满足条件的另一条直线l的解析式为：y=-x，
∴所求直线l的解析式为：y=x或y=-x，
（3）结论：PC-PM≤BC-BM，
理由如下：
∵M为二次函数y=-x²+bx+c的图象上一点且横坐标为2，
∴M（2，1）

①当点P于点B重合时，
有PC-PM=BC-BM，
②当P异于B时，
∵直线BM经过点B（3，0）、M（2，1），
∴直线BM的解析式为y=-x+3，
∵直线BM与y轴相交于点F的坐标为F（0，3），
∴F（0，3）于C（0，-3）关于x轴对称
联结结PF，
∴BC=BF，PF=PC，
∴BC-BM=BF-BM=MF，PF-PM=PC-PM，
∵在△FPM中，有PF-PM＜FM，
∴PC-PM＜BC-BM，
综上所述：PC-PM≤BC-BM．
点评：本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、直线解析式、直线和坐标轴交点坐标、切线的性质以及三角形的三边关系，题目的综合性强，难度中等，特别是第三小题解答时注意分类讨论的数学思想运用，防止漏解．