Question

13．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明$\frac{BE}{AE}=\frac{FE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE的外接圆的切线；
（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″O均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，
∴a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴B（1，4）．
（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．

∵A（3，0），E（0，3），
∴OE=OA=3．
∴∠OEA=45°．
∵E（0，3），B（1，4），
∴EF=BF．
∴∠FEB=45°．
∴∠BEA=90°．
∴AB为△ABE的外接圆的直径．
∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，
∴△BFE∽△AOE．
∴tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}=\frac{FE}{OE}$=$\frac{1}{3}$．
∵tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，
∴∠CBE=∠EAB．
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．
∴CB是△ABE的外接圆的切线．
（3）如图2所示：

∵$\frac{OD}{OE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$且∠DOE=∠BEA=90°，
∴△EOD∽△AEB．
∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．
∴点P的坐标为（0，0）．
过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．
∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，
∴△EDP′∽△EOD．
又∵△EOD∽△AEB，
∴△EDP′∽△AEB．
∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，
∴∠ODP′=∠DEP′．
∴$\frac{OP′}{OD}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{OP′}{1}=\frac{1}{3}$．
∴OP′=$\frac{1}{3}$．
∴点P′的坐标为（0，-$\frac{1}{3}$）．
过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．
∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，
∴△EDO∽△P″DE．
∵又∵△EOD∽△AEB，
∴△EDP″∽△AEB．
∴∠EP″O=∠BAE．
∴tan∠EP″O=$\frac{OE}{OP″}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{3}{OP″}$=$\frac{1}{3}$．
∴OP″=9．
∴P″（9，0）．
综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）或（9，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的外接圆、切线的判定，证得△BAE为直角三角形是解答问题（2）的关键；证得三角形△DEO、△P′DO、△EP″O均与△BAE相似是解答问题（3）的关键．