Question

△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．
（1）如图1，若AD是∠BAC的角平分线，求证：BE+AF=AC；
（2）如图2，若射线AD平分△ABC的外角，且点F在射线DE上，则线段BE、AF和AC的数量关系是________；
（3）如图3，在（2）的条件下，过D作DM∥AB交AC延长线于点M，若AE=2，AF=3，DM=BE，求CM的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°（CD⊥AC），DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，
∵在Rt△ECD和Rt△BED中
，
∴Rt△ECD≌Rt△BED（HL），
∴CF=BE，
∵AC=AF+CF，
∴BE+AF=AC；

（2）解：BE=AF+AC，
理由是：∵AD平分∠EAC，∠ACD=90°（CD⊥AC），AE⊥DE，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-DC²，
∴AE=AC，
∵CD⊥AC，AE⊥DE，
∴∠ACB=∠AEF=90°，
在△AEF和△ACB中
，
∴△AEF≌△ACB（ASA），
∴AF=AB，
∵BE=AB+AE，AE=AC，
∴BE=AF+AC；

（3）解：∵AE=2，AF=3，DM=BE，
∴由（2）知：AC=AE=2，AB=AF=3，BE=AF+AC=2+3=5，
∴DM=6，
∵DM∥AB，
∴△DCM∽△BCA，
∴=，
∴=，
CM=4．
分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL证Rt△ECD≌Rt△BED，推出CF=BE即可；
（2）根据角平分线性质求出DE=DC，根据勾股定理求出AE=AC，根据ASA证△AEF≌△ACB，推出AF=AB即可；
（3）求出AC、AB、求出DM，证△DCM∽△BCA，得出比例式，求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．